7.8 重复特征值
我们以对矩阵 A \mathbf{A} A 重复特征值 的情况的讨论，来结束对具有常系数 的线性齐次微分方程组 的考察：
x ′ = A x \begin{equation*}
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x} \tag{1}
\end{equation*}
x ′ = Ax ( 1 )
回想一下，在第 7.3 节中，我们说过代数重数 为 m ≥ 2 m \geq 2 m ≥ 2 重复特征值 可能具有小于 m m m 几何重数 。换句话说，可能存在少于 m m m 特征值 相关的线性无关的特征向量 。以下示例 说明了这种可能性。
示例 1求矩阵
A = ( 1 − 1 1 3 ) (2) \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \tag{2}\\
1 & 3
\end{array}\right)
A = ( 1 1 − 1 3 ) ( 2 )
的特征值 和特征向量 。
解 ：特征值 r r r 特征向量 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 方程 ( A − r I ) ξ = 0 (\mathbf{A}-r \mathbf{I}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0} ( A − r I ) ξ = 0
( 1 − r − 1 1 3 − r ) ( ξ 1 ξ 2 ) = ( 0 0 ) . (3) \left(\begin{array}{cc}
1-r & -1 \tag{3}\\
1 & 3-r
\end{array}\right)\binom{\xi_{1}}{\xi_{2}}=\binom{0}{0} .
( 1 − r 1 − 1 3 − r ) ( ξ 2 ξ 1 ) = ( 0 0 ) . ( 3 )
特征值 是方程
det ( A − r I ) = ∣ 1 − r − 1 1 3 − r ∣ = r 2 − 4 r + 4 = ( r − 2 ) 2 = 0. (4) \operatorname{det}(\mathbf{A}-r \mathbf{I})=\left|\begin{array}{cc}
1-r & -1 \tag{4}\\
1 & 3-r
\end{array}\right|=r^{2}-4 r+4=(r-2)^{2}=0 .
det ( A − r I ) = 1 − r 1 − 1 3 − r = r 2 − 4 r + 4 = ( r − 2 ) 2 = 0. ( 4 )
的根 。因此，两个特征值 为 r 1 = r 2 = 2 r_{1}=r_{2}=2 r 1 = r 2 = 2 特征值 2 具有代数重数 2。
为了确定特征向量 ，我们必须回到方程 (3) 并使用 r = 2 r=2 r = 2
( − 1 − 1 1 1 ) ( ξ 1 ξ 2 ) = ( 0 0 ) . (5) \left(\begin{array}{rr}
-1 & -1 \tag{5}\\
1 & 1
\end{array}\right)\binom{\xi_{1}}{\xi_{2}}=\binom{0}{0} .
( − 1 1 − 1 1 ) ( ξ 2 ξ 1 ) = ( 0 0 ) . ( 5 )
因此，我们得到单一条件 ξ 1 + ξ 2 = 0 \xi_{1}+\xi_{2}=0 ξ 1 + ξ 2 = 0 ξ 1 \xi_{1} ξ 1 ξ 2 \xi_{2} ξ 2 特征值 r = 2 r=2 r = 2 特征向量 是
ξ ( 1 ) = ( 1 − 1 ) , \begin{equation*}
\boldsymbol{\xi}^{(1)}=\binom{1}{-1}, \tag{6}
\end{equation*}
ξ ( 1 ) = ( − 1 1 ) , ( 6 )
或者这个向量 的任何非零倍数 。观察到只有一个线性无关的特征向量 与这个二重特征值 相关联。
回到系统 (1)，假设 r = ρ r=\rho r = ρ 特征方程
det ( A − r I ) = 0 \begin{equation*}
\operatorname{det}(\mathbf{A}-r \mathbf{I})=0 \tag{7}
\end{equation*}
det ( A − r I ) = 0 ( 7 )
的 m m m 重根 。然后，ρ \rho ρ 矩阵 A \mathbf{A} A 代数重数 为 m m m 特征值 。在这种情况下，有两种可能性：要么存在 m m m 特征值 ρ \rho ρ 线性无关的特征向量 ，要么像在示例 1 中一样，存在少于 m m m 线性无关的特征向量 。
在第一种情况下，令 ξ ( 1 ) , … , ξ ( m ) \boldsymbol{\xi}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{\xi}^{(m)} ξ ( 1 ) , … , ξ ( m ) m m m 代数重数 为 m m m 特征值 ρ \rho ρ 线性无关的特征向量 。那么存在 m m m 线性无关的解 x ( 1 ) ( t ) = ξ ( 1 ) e ρ t , … , x ( m ) ( t ) = ξ ( m ) e ρ t \mathbf{x}^{(1)}(t)=\boldsymbol{\xi}^{(1)} e^{\rho t}, \ldots, \mathbf{x}^{(m)}(t)=\boldsymbol{\xi}^{(m)} e^{\rho t} x ( 1 ) ( t ) = ξ ( 1 ) e ρt , … , x ( m ) ( t ) = ξ ( m ) e ρt 方程 (1)。因此，在这种情况下，特征值 r = ρ r=\rho r = ρ 方程 (1) 仍然存在一个形如 ξ e r t \xi e^{r t} ξ e r t 基本解集 。如果系数矩阵 A \mathbf{A} A 埃尔米特矩阵 （或实对称矩阵 ），则总是会发生这种情况。
但是，如果系数矩阵 不是埃尔米特矩阵 ，那么可能存在少于 m m m 代数重数 为 m m m 特征值 ρ \rho ρ 独立特征向量 ，如果是这样，则存在少于 m m m ξ e ρ t \boldsymbol{\xi} e^{\rho t} ξ e ρt 方程 (1) 的解 与该特征值 相关联。因此，为了构造方程 (1) 的通解 ，有必要找到其他形式的解 。回想一下，当特征方程 具有二重根 r r r 线性方程 a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 a y ′′ + b y ′ + cy = 0 指数解 y 1 ( t ) = e r t y_{1}(t)=e^{r t} y 1 ( t ) = e r t 独立解 的形式为 y 2 ( t ) = t e r t y_{2}(t)=t e^{r t} y 2 ( t ) = t e r t 结果 ，考虑以下示例 。
示例 2找到以下方程组 的基本解集
x ′ = A x = ( 1 − 1 1 3 ) x (8) \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x}=\left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \tag{8}\\
1 & 3
\end{array}\right) \mathbf{x}
x ′ = Ax = ( 1 1 − 1 3 ) x ( 8 )
并绘制该系统 的相图 。
解 ：系统 (8) 的方向场 如图 7.8.1 所示。从这张图 中可以看出，所有非零解 都偏离原点 。
图 7.8.1 系统 (8) 的方向场 。
为了解这个系统 ，观察到系数矩阵 A \mathbf{A} A 示例 1 中的矩阵 相同。因此，我们知道 r = 2 r=2 r = 2 二重特征值 ，并且它只有一个对应的特征向量 ，我们可以取为 ξ = ( 1 , − 1 ) T \boldsymbol{\xi}=(1,-1)^{T} ξ = ( 1 , − 1 ) T 系统 (8) 的一个解 是
x ( 1 ) ( t ) = ( 1 − 1 ) e 2 t \begin{equation*}
\mathbf{x}^{(1)}(t)=\binom{1}{-1} e^{2 t} \tag{9}
\end{equation*}
x ( 1 ) ( t ) = ( − 1 1 ) e 2 t ( 9 )
“
但是，不存在形如x = ξ e r t \mathbf{x}=\xi e^{r t} x = ξ e r t 解 。基于第3.4节中二阶线性微分方程 的步骤 ，很自然地尝试寻找系统 (8)的第二个线性无关解 ，形式如下：
x = ξ t e 2 t \begin{equation*}
\mathbf{x}=\boldsymbol{\xi} t e^{2 t} \tag{10}
\end{equation*}
x = ξ t e 2 t ( 10 )
其中ξ \boldsymbol{\xi} ξ 常向量 。将x \mathbf{x} x 方程 (8)，我们得到
2 ξ t e 2 t + ξ e 2 t = A ξ t e 2 t . \begin{equation*}
2 \boldsymbol{\xi} t e^{2 t}+\boldsymbol{\xi} e^{2 t}=\mathbf{A} \boldsymbol{\xi} t e^{2 t} . \tag{11}
\end{equation*}
2 ξ t e 2 t + ξ e 2 t = A ξ t e 2 t . ( 11 )
为了使方程 (11)对所有t t t 方程 (11)两边t e 2 t t e^{2 t} t e 2 t e 2 t e^{2 t} e 2 t 系数 。从e 2 t e^{2 t} e 2 t 项 中，我们发现
ξ = 0. \begin{equation*}
\xi=\mathbf{0} . \tag{12}
\end{equation*}
ξ = 0 . ( 12 )
因此，系统 (8)不存在形如(10)的非零解 。
由于方程 (11)包含t e 2 t t e^{2 t} t e 2 t e 2 t e^{2 t} e 2 t 项 ，因此除了ξ t e 2 t \xi t e^{2 t} ξ t e 2 t 解 还必须包含一个形如η e 2 t \eta e^{2 t} η e 2 t 项 ；换句话说，我们需要假设
x = ξ t e 2 t + η e 2 t \begin{equation*}
\mathbf{x}=\boldsymbol{\xi} t e^{2 t}+\eta e^{2 t} \tag{13}
\end{equation*}
x = ξ t e 2 t + η e 2 t ( 13 )
其中ξ \boldsymbol{\xi} ξ η \boldsymbol{\eta} η 常向量 。将x \mathbf{x} x 表达式 代入方程 (8)，我们得到
2 ξ t e 2 t + ( ξ + 2 η ) e 2 t = A ( ξ t e 2 t + η e 2 t ) \begin{equation*}
2 \boldsymbol{\xi} t e^{2 t}+(\boldsymbol{\xi}+2 \boldsymbol{\eta}) e^{2 t}=\mathbf{A}\left(\boldsymbol{\xi} t e^{2 t}+\eta e^{2 t}\right) \tag{14}
\end{equation*}
2 ξ t e 2 t + ( ξ + 2 η ) e 2 t = A ( ξ t e 2 t + η e 2 t ) ( 14 )
等式方程 (14)两边t e 2 t t e^{2 t} t e 2 t e 2 t e^{2 t} e 2 t 系数 ，得到确定ξ \boldsymbol{\xi} ξ η \boldsymbol{\eta} η 条件
2 ξ = A ξ 2 \xi=\mathbf{A} \xi
2 ξ = A ξ
和
ξ + 2 η = A η \xi+2 \boldsymbol{\eta}=\mathbf{A} \eta
ξ + 2 η = A η
将这些条件 重写为以下形式是有帮助的：
( A − 2 I ) ξ = 0 \begin{equation*}
(A-2 I) \xi=0 \tag{15}
\end{equation*}
( A − 2 I ) ξ = 0 ( 15 )
和
( A − 2 I ) η = ξ \begin{equation*}
(\mathbf{A}-\mathbf{2 I}) \eta=\xi \tag{16}
\end{equation*}
( A − 2I ) η = ξ ( 16 )
如果ξ \boldsymbol{\xi} ξ A \mathbf{A} A 特征值 r = 2 r=2 r = 2 特征向量 ，例如ξ = ( 1 , − 1 ) T \boldsymbol{\xi}=(1,-1)^{T} ξ = ( 1 , − 1 ) T 方程 (15)成立。由于det ( A − 2 I ) \operatorname{det}(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) det ( A − 2 I ) ξ \boldsymbol{\xi} ξ 条件 时，方程 (16)才可解。幸运的是，ξ \boldsymbol{\xi} ξ 倍数 正是允许方程 (16)被解的向量 。方程 (16)的增广矩阵 为
( − 1 − 1 1 1 1 − 1 ) \left(\begin{array}{rr|r}
-1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{array}\right)
( − 1 1 − 1 1 1 − 1 )
该矩阵 的第二行 与第一行 成比例 ，因此该系统 可解。我们有
− η 1 − η 2 = 1 , -\eta_{1}-\eta_{2}=1,
− η 1 − η 2 = 1 ,
因此，如果η 1 = k \eta_{1}=k η 1 = k k k k η 2 = − k − 1 \eta_{2}=-k-1 η 2 = − k − 1
η = ( k − 1 − k ) = ( 0 − 1 ) + k ( 1 − 1 ) , \begin{equation*}
\eta=\binom{k}{-1-k}=\binom{0}{-1}+k\binom{1}{-1}, \tag{17}
\end{equation*}
η = ( − 1 − k k ) = ( − 1 0 ) + k ( − 1 1 ) , ( 17 )
那么通过将ξ \boldsymbol{\xi} ξ η \boldsymbol{\eta} η 方程 (13)，我们得到
x = ξ t e 2 t + η e 2 t = ( 1 − 1 ) t e 2 t + ( 0 − 1 ) e 2 t + k ( 1 − 1 ) e 2 t . \begin{equation*}
\mathbf{x}=\boldsymbol{\xi} t e^{2 t}+\boldsymbol{\eta} e^{2 t}=\binom{1}{-1} t e^{2 t}+\binom{0}{-1} e^{2 t}+k\binom{1}{-1} e^{2 t} . \tag{18}
\end{equation*}
x = ξ t e 2 t + η e 2 t = ( − 1 1 ) t e 2 t + ( − 1 0 ) e 2 t + k ( − 1 1 ) e 2 t . ( 18 )
方程 (18)中的最后一项 仅仅是第一个解 x ( 1 ) ( t ) \mathbf{x}^{(1)}(t) x ( 1 ) ( t ) 倍数 ，可以忽略，但前两项 构成了一个新的解 ：
x ( 2 ) ( t ) = ( 1 − 1 ) t e 2 t + ( 0 − 1 ) e 2 t \begin{equation*}
\mathbf{x}^{(2)}(t)=\binom{1}{-1} t e^{2 t}+\binom{0}{-1} e^{2 t} \tag{19}
\end{equation*}
x ( 2 ) ( t ) = ( − 1 1 ) t e 2 t + ( − 1 0 ) e 2 t ( 19 )
一个简单的计算 表明W [ x ( 1 ) , x ( 2 ) ] ( t ) = − e 4 t ≠ 0 W\left[\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right](t)=-e^{4 t} \neq 0 W [ x ( 1 ) , x ( 2 ) ] ( t ) = − e 4 t = 0 x ( 1 ) \mathbf{x}^{(1)} x ( 1 ) x ( 2 ) \mathbf{x}^{(2)} x ( 2 ) 系统 (8)的基本解集 。通解 为
x = c 1 x ( 1 ) ( t ) + c 2 x ( 2 ) ( t ) = c 1 ( 1 − 1 ) e 2 t + c 2 ( ( 1 − 1 ) t e 2 t + ( 0 − 1 ) e 2 t ) . \begin{align*}
\mathbf{x} & =c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+c_{2} \mathbf{x}^{(2)}(t) \\
& =c_{1}\binom{1}{-1} e^{2 t}+c_{2}\left(\binom{1}{-1} t e^{2 t}+\binom{0}{-1} e^{2 t}\right) . \tag{20}
\end{align*}
x = c 1 x ( 1 ) ( t ) + c 2 x ( 2 ) ( t ) = c 1 ( − 1 1 ) e 2 t + c 2 ( ( − 1 1 ) t e 2 t + ( − 1 0 ) e 2 t ) . ( 20 )
解 (20)的相图 的主要特征 源于每个项 中指数因子 e 2 t e^{2 t} e 2 t t → − ∞ t \rightarrow-\infty t → − ∞ x → 0 \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{0} x → 0 c 1 c_{1} c 1 c 2 c_{2} c 2 t → ∞ t \rightarrow \infty t → ∞ x \mathbf{x} x
[^5]无界。如果c 1 c_{1} c 1 c 2 c_{2} c 2 轨迹 ，我们有
lim t → − ∞ x 2 ( t ) x 1 ( t ) = − c 1 e 2 t + c 2 ( − t e 2 t − e 2 t ) c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t = lim t → − ∞ − c 1 − c 2 t − c 2 c 1 + c 2 t = − 1
\lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{x_{2}(t)}{x_{1}(t)}=\frac{-c_{1} e^{2 t}+c_{2}\left(-t e^{2 t}-e^{2 t}\right)}{c_{1} e^{2 t}+c_{2} t e^{2 t}}=\lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{-c_{1}-c_{2} t-c_{2}}{c_{1}+c_{2} t}=-1
t → − ∞ lim x 1 ( t ) x 2 ( t ) = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t − c 1 e 2 t + c 2 ( − t e 2 t − e 2 t ) = t → − ∞ lim c 1 + c 2 t − c 1 − c 2 t − c 2 = − 1
因此，当 t → − ∞ t \rightarrow-\infty t → − ∞ 轨迹 都以与特征向量 确定的直线 x 2 = − x 1 x_{2}=-x_{1} x 2 = − x 1 原点 ；这种行为 在图 7.8.2(a) 中清晰可见。此外，当 t → ∞ t \rightarrow \infty t → ∞ 轨迹 的斜率 也趋近于 -1。然而，可以证明，当 t → ∞ t \rightarrow \infty t → ∞ 轨迹 不会趋近于任何单个渐近线 。系统 (8) 的几条轨迹 ，包括 x ( 1 ) \mathbf{x}^{(1)} x ( 1 ) 曲线 ）和 x ( 2 ) \mathbf{x}^{(2)} x ( 2 ) 曲线 ），如图 7.8.2(a) 所示，以及 x 1 x_{1} x 1 t t t x 2 x_{2} x 2 t t t 图 ，分别如图 7.8.2(b) 和 7.8.2(c) 所示。
图 7.8.2 (a) 系统 (8) 的相图 ；原点 是一个非正常结点 。(b) 系统 (8) 中 x 1 x_{1} x 1 t t t 图 。(c) 系统 (8) 中 x 2 x_{2} x 2 t t t 图 。(b) 和 (c) 中的分量图 根据 (a) 中的轨迹 进行了颜色编码 。紫色曲线 对应于通过 (-1, 1/2) 的解 ，红色 通过 (-1, -1/2)，绿色 (0, 1/2)，橙色 (0, -1/2)，蓝色 (1, 1/2)，金色 (1, -1/2)。
图 7.8.2(a) 中的轨迹模式 是具有相等特征值 和只有一个独立特征向量 的 2 × 2 2 \times 2 2 × 2 系统 x ′ = A x \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A x} x ′ = Ax 情况 下，原点 被称为非正常结点 。如果特征值 是负的，那么轨迹 是相似的，但以向内方向 遍历。非正常结点 是渐近稳定的或不稳定的，取决于特征值 是负的还是正的。
从前面的例子 中可以明显看出，两个一阶方程组 与单个二阶方程 之间的一个区别 。对于具有特征方程 的重复根 r 1 r_{1} r 1 方程 ，不需要第二解 中的项 c e r 1 t c e^{r_{1} t} c e r 1 t 解 成倍数关系 。另一方面，对于两个一阶方程组 ，方程 (13) 中 r 1 = 2 r_{1}=2 r 1 = 2 项 η e r 1 t \boldsymbol{\eta} e^{r_{1} t} η e r 1 t 解 ξ e r 1 t \boldsymbol{\xi} e^{r_{1} t} ξ e r 1 t 倍数 ，因此必须保留项 η e r 1 t \boldsymbol{\eta} e^{r_{1} t} η e r 1 t
例 2 完全是当存在双重特征值 和一个相关的特征向量 时的典型例子 。再次考虑系统 (1)，假设 r = ρ r=\rho r = ρ A \mathbf{A} A 特征值 ，但只有一个对应的特征向量 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 方程 (9) 的解 是
x ( 1 ) ( t ) = ξ e ρ t \begin{equation*}
\mathbf{x}^{(1)}(t)=\boldsymbol{\xi} e^{\rho t} \tag{21}
\end{equation*}
x ( 1 ) ( t ) = ξ e ρt ( 21 )
其中 ξ \boldsymbol{\xi} ξ
( A − ρ I ) ξ = 0 \begin{equation*}
(\mathbf{A}-\rho \mathbf{I}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0} \tag{22}
\end{equation*}
( A − ρ I ) ξ = 0 ( 22 )
按照例 2 中介绍的过程 ，我们发现第二解 ，类似于方程 (19)，是
x ( 2 ) ( t ) = ξ t e ρ t + η e ρ t \begin{equation*}
\mathbf{x}^{(2)}(t)=\boldsymbol{\xi} t e^{\rho t}+\eta e^{\rho t} \tag{23}
\end{equation*}
x ( 2 ) ( t ) = ξ t e ρt + η e ρt ( 23 )
其中 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 方程 (22)，η \boldsymbol{\eta} η
( A − ρ I ) η = ξ \begin{equation*}
(\mathbf{A}-\rho \mathbf{I}) \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\xi} \tag{24}
\end{equation*}
( A − ρ I ) η = ξ ( 24 )
即使 det ( A − ρ I ) = 0 \operatorname{det}(\mathbf{A}-\rho \mathbf{I})=0 det ( A − ρ I ) = 0 方程 (24) 得到 η \boldsymbol{\eta} η 细节 ，但重要的一个步骤 是注意到，如果我们用 A − ρ I \mathbf{A}-\rho \mathbf{I} A − ρ I 方程 (24) 并使用方程 (22)，那么我们得到
( A − ρ I ) 2 η = 0 (\mathbf{A}-\rho \mathbf{I})^{2} \boldsymbol{\eta}=\mathbf{0}
( A − ρ I ) 2 η = 0
向量 η \boldsymbol{\eta} η 矩阵 A \mathbf{A} A 特征值 ρ \rho ρ 特征向量 。
基本矩阵 。正如第 7.7 节 所解释的，基本矩阵 是通过将线性无关的解 排列在列 中形成的。因此，例如，系统 (8) 的基本矩阵 可以由方程 (9) 和 (19) 中的解 x ( 1 ) ( t ) \mathbf{x}^{(1)}(t) x ( 1 ) ( t ) x ( 2 ) ( t ) \mathbf{x}^{(2)}(t) x ( 2 ) ( t )
Ψ ( t ) = ( e 2 t t e 2 t − e 2 t − t e 2 t − e 2 t ) = e 2 t ( 1 t − 1 − 1 − t ) (25) \Psi(t)=\left(\begin{array}{cc}
e^{2 t} & t e^{2 t} \tag{25}\\
-e^{2 t} & -t e^{2 t}-e^{2 t}
\end{array}\right)=e^{2 t}\left(\begin{array}{cc}
1 & t \\
-1 & -1-t
\end{array}\right)
Ψ ( t ) = ( e 2 t − e 2 t t e 2 t − t e 2 t − e 2 t ) = e 2 t ( 1 − 1 t − 1 − t ) ( 25 )
满足 Φ ( 0 ) = I \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} Φ ( 0 ) = I 基本矩阵 Φ \boldsymbol{\Phi} Φ 关系式 Φ ( t ) = Ψ ( t ) Ψ − 1 ( 0 ) \Phi(t)=\Psi(t) \Psi^{-1}(0) Φ ( t ) = Ψ ( t ) Ψ − 1 ( 0 ) 方程 (25)，我们有
Ψ ( 0 ) = ( 1 0 − 1 − 1 ) 使得 Ψ − 1 ( 0 ) = ( 1 0 − 1 − 1 ) (26) \Psi(0)=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \tag{26}\\
-1 & -1
\end{array}\right) \quad \text { 使得 } \quad \Psi^{-1}(0)=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-1 & -1
\end{array}\right)
Ψ ( 0 ) = ( 1 − 1 0 − 1 ) 使得 Ψ − 1 ( 0 ) = ( 1 − 1 0 − 1 ) ( 26 )
然后
Φ ( t ) = Ψ ( t ) Ψ − 1 ( 0 ) = e 2 t ( 1 t − 1 − 1 − t ) ( 1 0 − 1 − 1 ) = e 2 t ( 1 − t − t t 1 + t ) \begin{align*}
\Phi(t)=\boldsymbol{\Psi}(t) \Psi^{-1}(0) & =e^{2 t}\left(\begin{array}{cc}
1 & t \\
-1 & -1-t
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-1 & -1
\end{array}\right) \\
& =e^{2 t}\left(\begin{array}{cc}
1-t & -t \\
t & 1+t
\end{array}\right) \tag{27}
\end{align*}
Φ ( t ) = Ψ ( t ) Ψ − 1 ( 0 ) = e 2 t ( 1 − 1 t − 1 − t ) ( 1 − 1 0 − 1 ) = e 2 t ( 1 − t t − t 1 + t ) ( 27 )
回想一下，满足 Φ ( 0 ) = I \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} Φ ( 0 ) = I 基本矩阵 Φ ( t ) \boldsymbol{\Phi}(t) Φ ( t ) exp ( A t ) \exp (\mathbf{A} t) exp ( A t ) 例 2 中的矩阵 A \mathbf{A} A 方程 x ′ = A x \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x} x ′ = Ax x ( 0 ) = x 0 \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}^{0} x ( 0 ) = x 0 条件 下的解 是 x ( t ) = exp ( A t ) x 0 \mathbf{x}(t)=\exp (\mathbf{A} t) \mathbf{x}^{0} x ( t ) = exp ( A t ) x 0 x ( t ) = Φ ( t ) x 0 \mathbf{x}(t)=\boldsymbol{\Phi}(t) \mathbf{x}^{0} x ( t ) = Φ ( t ) x 0 Φ ( t ) \boldsymbol{\Phi}(t) Φ ( t ) 方程 (27) 给出。
Jordan 范式 。正如第 7.7 节 讨论的，一个 n × n n \times n n × n 矩阵 A 可以对角化，仅当它具有 n n n 特征向量 的完全补集 时。如果特征向量 短缺（因为存在重复的特征值 ），则 A \mathbf{A} A 矩阵 ，称为其 Jordan 8 { }^{8} 8 范式 ，它在主对角线上有 A \mathbf{A} A 特征值 ，在主对角线上方的某些位置 有 1，其他位置 为零。
[^6]再次考虑由方程 (2) 给出的矩阵 A \mathbf{A} A A \mathbf{A} A 范式 ，我们构造变换矩阵 T \mathbf{T} T 列 是方程 (6) 中的单个特征向量 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 列 是方程 (17) 中当 k = 0 k=0 k = 0 特征向量 η \boldsymbol{\eta} η T \mathbf{T} T 逆矩阵 由下式给出
T = ( 1 0 − 1 − 1 ) 和 T − 1 = ( 1 0 − 1 − 1 ) (28) \mathbf{T}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \tag{28}\\
-1 & -1
\end{array}\right) \quad \text { 和 } \quad \mathbf{T}^{-1}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-1 & -1
\end{array}\right)
T = ( 1 − 1 0 − 1 ) 和 T − 1 = ( 1 − 1 0 − 1 ) ( 28 )
你可以验证，结果 是
T − 1 A T = ( 2 1 0 2 ) = J (29) \mathbf{T}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{T}=\left(\begin{array}{ll}
2 & 1 \tag{29}\\
0 & 2
\end{array}\right)=\mathbf{J}
T − 1 AT = ( 2 0 1 2 ) = J ( 29 )
方程 (29) 中的矩阵 J \mathbf{J} J 范式 。它是所有 Jordan 范式 的典型代表，在对应于缺少特征向量 的列 （并在 T \mathbf{T} T 特征向量 替换）的主对角线上方有一个 1。
如果我们再次从方程 (1) 出发
x ′ = A x \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x}
x ′ = Ax
则变换 x = T y \mathbf{x}=\mathbf{T y} x = Ty T \mathbf{T} T 方程 (28) 给出，产生系统
y ′ = J y \begin{equation*}
\mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{J y} \tag{30}
\end{equation*}
y ′ = Jy ( 30 )
其中 J \mathbf{J} J 方程 (29) 给出。用标量形式 表示，系统 (30) 是
y 1 ′ = 2 y 1 + y 2 , y 2 ′ = 2 y 2 . \begin{equation*}
y_{1}^{\prime}=2 y_{1}+y_{2}, \quad y_{2}^{\prime}=2 y_{2} . \tag{31}
\end{equation*}
y 1 ′ = 2 y 1 + y 2 , y 2 ′ = 2 y 2 . ( 31 )
这些方程 可以按相反的顺序 容易地解出 - 也就是从 y 2 y_{2} y 2 方程 开始。这样，我们得到
y 2 ( t ) = c 1 e 2 t 和 y 1 ( t ) = c 1 t e 2 t + c 2 e 2 t . \begin{equation*}
y_{2}(t)=c_{1} e^{2 t} \quad \text { 和 } \quad y_{1}(t)=c_{1} t e^{2 t}+c_{2} e^{2 t} . \tag{32}
\end{equation*}
y 2 ( t ) = c 1 e 2 t 和 y 1 ( t ) = c 1 t e 2 t + c 2 e 2 t . ( 32 )
因此，系统 (30) 的两个独立解 是
y ( 1 ) ( t ) = ( 1 0 ) e 2 t 和 y ( 2 ) ( t ) = ( t 1 ) e 2 t \begin{equation*}
\mathbf{y}^{(1)}(t)=\binom{1}{0} e^{2 t} \quad \text { 和 } \quad \mathbf{y}^{(2)}(t)=\binom{t}{1} e^{2 t} \tag{33}
\end{equation*}
y ( 1 ) ( t ) = ( 0 1 ) e 2 t 和 y ( 2 ) ( t ) = ( 1 t ) e 2 t ( 33 )
并且相应的基本矩阵 是
Ψ ^ ( t ) = ( e 2 t t e 2 t 0 e 2 t ) (34) \hat{\Psi}(t)=\left(\begin{array}{rr}
e^{2 t} & t e^{2 t} \tag{34}\\
0 & e^{2 t}
\end{array}\right)
Ψ ^ ( t ) = ( e 2 t 0 t e 2 t e 2 t ) ( 34 )
由于 Ψ ^ ( 0 ) = I \hat{\mathbf{\Psi}}(0)=\mathbf{I} Ψ ^ ( 0 ) = I 方程 (34) 中的矩阵 识别为 exp ( J t ) \exp (\mathbf{J} t) exp ( J t ) J \mathbf{J} J 幂 并将它们代入指数级数 也可以得到相同的结果 （参见问题 19 至 21）。为了获得原始系统 的基本矩阵 ，我们现在形成乘积
Ψ ( t ) = T exp ( J t ) = ( e 2 t t e 2 t − e 2 t − e 2 t − t e 2 t ) (35) \Psi(t)=\mathbf{T} \exp (\mathbf{J} t)=\left(\begin{array}{cc}
e^{2 t} & t e^{2 t} \tag{35}\\
-e^{2 t} & -e^{2 t}-t e^{2 t}
\end{array}\right)
Ψ ( t ) = T exp ( J t ) = ( e 2 t − e 2 t t e 2 t − e 2 t − t e 2 t ) ( 35 )
这与方程 (25) 中给出的基本矩阵 相同。
我们不会在这里更详细地讨论 n × n n \times n n × n 系统 x ′ = A x \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A x} x ′ = Ax n n n 代数重数 m m m 特征值 ，几何重数 q q q m − q m-q m − q 广义特征向量 。问题 17 和 18 探讨了 Jordan 范式 在三个微分方程组 中的使用。对于 n ≥ 4 n \geq 4 n ≥ 4 复特征值 。对一般 n × n n \times n n × n 矩阵 的 Jordan 范式 的完整讨论 9 { }^{9} 9 读者 所假定的线性代数知识 更深的背景 。
[^7]对于一个一般的 n × n n \times n n × n 系统 ，即使 n n n 分析 所需的计算量 也可能是令人望而却步的。因此，在大多数情况下，应该常规地使用合适的计算机软件 。这并不能克服所有的困难 ，但它确实使许多问题 更容易处理。最后，对于一组由物理系统 建模产生的方程 ，系数矩阵 A \mathbf{A} A 元素 很可能是通过测量 某些物理量 得到的。这些测量 中不可避免的不确定性 会导致 A \mathbf{A} A 特征值 的不确定性 。例如，在这种情况下，可能无法明确两个特征值 是否真正相等，或者仅仅是彼此非常接近。
问题
在问题 1 到 3 中：
a. 画出方向场 并绘制一些轨迹 。
G b. 描述当 t → ∞ t \rightarrow \infty t → ∞ 解 的行为 。
c. 求出方程组 的通解 。
x ′ = ( 3 − 4 1 − 1 ) x \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x} x ′ = ( 3 1 − 4 − 1 ) x
x ′ = ( 4 − 2 8 − 4 ) x \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & -2 \\ 8 & -4\end{array}\right) \mathbf{x} x ′ = ( 4 8 − 2 − 4 ) x
x ′ = ( − 3 2 1 − 1 4 − 1 2 ) x \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-\frac{3}{2} & 1 \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2}\end{array}\right) \mathbf{x} x ′ = ( − 2 3 − 4 1 1 − 2 1 ) x
在问题 4 和 5 中，求出给定方程组 的通解 。
x ′ = ( 1 1 1 2 1 − 1 0 − 1 1 ) x \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right) \mathbf{x} x ′ = 1 2 0 1 1 − 1 1 − 1 1 x
x ′ = ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) x \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \mathbf{x} x ′ = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 x
在问题 6 到 8 中：
a. 求出给定初值问题 的解 。
b. 在 x 1 x 2 x_{1} x_{2} x 1 x 2 平面 上绘制解 的轨迹 ，并绘制 x 1 x_{1} x 1 t t t 图 。
x ′ = ( 1 − 4 4 − 7 ) x , x ( 0 ) = ( 3 2 ) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -4 \\ 4 & -7\end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{3}{2} x ′ = ( 1 4 − 4 − 7 ) x , x ( 0 ) = ( 2 3 )
x ′ = ( − 5 2 3 2 − 3 2 1 2 ) x , x ( 0 ) = ( 3 − 1 ) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-\frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{3}{-1} x ′ = ( − 2 5 − 2 3 2 3 2 1 ) x , x ( 0 ) = ( − 1 3 )
x ′ = ( 3 9 − 1 − 3 ) x , x ( 0 ) = ( 2 4 ) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}3 & 9 \\ -1 & -3\end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{2}{4} x ′ = ( 3 − 1 9 − 3 ) x , x ( 0 ) = ( 4 2 )
在问题 9 和 10 中：
a. 求出给定初值问题 的解 。
(G) b. 在 x 1 x 2 x 3 x_{1} x_{2} x_{3} x 1 x 2 x 3 空间 中绘制相应的轨迹 。
c. 绘制 x 1 x_{1} x 1 t t t 图 。
x ′ = ( 1 0 0 − 4 1 0 3 6 2 ) x , x ( 0 ) = ( − 1 2 − 30 ) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rll}1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 2\end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ -30\end{array}\right) x ′ = 1 − 4 3 0 1 6 0 0 2 x , x ( 0 ) = − 1 2 − 30
x ′ = ( − 5 2 1 1 1 − 5 2 1 1 1 − 5 2 ) x , x ( 0 ) = ( 2 3 − 1 ) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}-\frac{5}{2} & 1 & 1 \\ 1 & -\frac{5}{2} & 1 \\ 1 & 1 & -\frac{5}{2}\end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) x ′ = − 2 5 1 1 1 − 2 5 1 1 1 − 2 5 x , x ( 0 ) = 2 3 − 1
在问题 11 和 12 中，通过第 7.5 节问题 13 的方法 求解给定的方程组 。假设 t > 0 t>0 t > 0
t x ′ = ( 3 − 4 1 − 1 ) x t \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x} t x ′ = ( 3 1 − 4 − 1 ) x
t x ′ = ( 1 − 4 4 − 7 ) x t \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -4 \\ 4 & -7\end{array}\right) \mathbf{x} t x ′ = ( 1 4 − 4 − 7 ) x
证明系统
x ′ = ( a b c d ) x
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \mathbf{x}
x ′ = ( a c b d ) x
的所有解 当 t → ∞ t \rightarrow \infty t → ∞ a + d < 0 a+d<0 a + d < 0 a d − b c > 0 a d-b c>0 a d − b c > 0 结果 与第 3.4 节 中的问题 28 进行比较。
再次考虑第 7.6 节问题 21 中的电路 。该电路 由微分方程组 描述
d d t ( I V ) = ( 0 1 L − 1 C − 1 R C ) ( I V )
\frac{d}{d t}\binom{I}{V}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \frac{1}{L} \\
-\frac{1}{C} & -\frac{1}{R C}
\end{array}\right)\binom{I}{V}
d t d ( V I ) = ( 0 − C 1 L 1 − RC 1 ) ( V I )
a. 证明如果 L = 4 R 2 C L=4 R^{2} C L = 4 R 2 C 特征值 为实数 且相等。
b. 假设 R = 1 Ω , C = 1 F R=1 \Omega, C=1 \mathrm{~F} R = 1Ω , C = 1 F L = 4 H L=4 \mathrm{H} L = 4 H I ( 0 ) = 1 A I(0)=1 \mathrm{~A} I ( 0 ) = 1 A V ( 0 ) = 2 V V(0)=2 \mathrm{~V} V ( 0 ) = 2 V I ( t ) I(t) I ( t ) V ( t ) V(t) V ( t )
再次考虑系统
x ′ = A x = ( 1 − 1 1 3 ) x (36)
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x}=\left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \tag{36}\\
1 & 3
\end{array}\right) \mathbf{x}
x ′ = Ax = ( 1 1 − 1 3 ) x ( 36 )
我们在例 2 中讨论过。我们在那里发现 A \mathbf{A} A 特征值 r 1 = r 2 = 2 r_{1}=r_{2}=2 r 1 = r 2 = 2 线性无关 的特征向量 ξ ( 1 ) = ( 1 , − 1 ) T \boldsymbol{\xi}^{(1)}=(1,-1)^{T} ξ ( 1 ) = ( 1 , − 1 ) T 倍数 。因此，系统 (36) 的一个解 是 x ( 1 ) ( t ) = ξ ( 1 ) e 2 t \mathbf{x}^{(1)}(t)=\boldsymbol{\xi}^{(1)} e^{2 t} x ( 1 ) ( t ) = ξ ( 1 ) e 2 t 线性无关 的解 的形式 为
x ( 2 ) ( t ) = ξ t e 2 t + η e 2 t
\mathbf{x}^{(2)}(t)=\xi t e^{2 t}+\boldsymbol{\eta} e^{2 t}
x ( 2 ) ( t ) = ξ t e 2 t + η e 2 t
其中 ξ \boldsymbol{\xi} ξ η \boldsymbol{\eta} η
( A − 2 I ) ξ = 0 , ( A − 2 I ) η = ξ
\begin{equation*}
(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}, \quad(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\xi} \tag{37}
\end{equation*}
( A − 2 I ) ξ = 0 , ( A − 2 I ) η = ξ ( 37 )
在正文 中，我们先解第一个方程 得到ξ \boldsymbol{\xi} ξ 方程 得到η \boldsymbol{\eta} η 顺序 进行。
a. 证明 η \boldsymbol{\eta} η ( A − 2 I ) 2 η = 0 (\mathbf{A}-2 \mathbf{I})^{2} \boldsymbol{\eta}=\mathbf{0} ( A − 2 I ) 2 η = 0
b. 证明 ( A − 2 I ) 2 = 0 (\mathbf{A}-2 \mathbf{I})^{2}=\mathbf{0} ( A − 2 I ) 2 = 0 广义特征向量 η \eta η ξ ( 1 ) \xi^{(1)} ξ ( 1 ) 线性无关 。
c. 设 η = ( 0 , − 1 ) T \boldsymbol{\eta}=(0,-1)^{T} η = ( 0 , − 1 ) T 方程 (37)的第二个方程 确定ξ \boldsymbol{\xi} ξ ξ = ( 1 , − 1 ) T = ξ ( 1 ) \boldsymbol{\xi}=(1,-1)^{T}=\boldsymbol{\xi}^{(1)} ξ = ( 1 , − 1 ) T = ξ ( 1 ) η \boldsymbol{\eta} η 选择 重现了例 2中的解 。
d. 设 η = ( 1 , 0 ) T \eta=(1,0)^{T} η = ( 1 , 0 ) T 特征向量 ξ \xi ξ
e. 设 η = ( k 1 , k 2 ) T \boldsymbol{\eta}=\left(k_{1}, k_{2}\right)^{T} η = ( k 1 , k 2 ) T k 1 k_{1} k 1 k 2 k_{2} k 2 数 。k 1 k_{1} k 1 k 2 k_{2} k 2 条件 才能确保η \eta η ξ ( 1 ) \boldsymbol{\xi}^{(1)} ξ ( 1 ) 线性无关 ？然后确定ξ \boldsymbol{\xi} ξ 特征向量 ξ ( 1 ) \boldsymbol{\xi}^{(1)} ξ ( 1 ) 关系 ？
在例 2中，当A \mathbf{A} A 公式 (36)给出时，声称即使矩阵 A − 2 I \mathbf{A}-2 \mathbf{I} A − 2 I 方程 (16)也是可解的。这个问题 证明了这一说法 。
a. 求出A ∗ \mathbf{A}^{*} A ∗ 特征值 和特征向量 ，其中A ∗ \mathbf{A}^{*} A ∗ A \mathbf{A} A 伴随矩阵 。
b. 证明A \mathbf{A} A 特征向量 与A ∗ \mathbf{A}^{*} A ∗ 特征向量 是正交的。
c. 解释一下为什么这证明了方程 (16)是可解的。
重数 为3的特征值 。如果矩阵 A \mathbf{A} A 代数重数 为3的特征值 ，那么可能有一个、两个或三个相应的线性无关 的特征向量 。系统 x ′ = A x \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A x} x ′ = Ax 通解 是不同的，这取决于与三重特征值 相关的特征向量 的数量 。正如文中 指出的，如果有三个特征向量 ，则不存在困难 ，因为那样就有三个x = ξ e r t \mathbf{x}=\boldsymbol{\xi} e^{r t} x = ξ e r t 形式 的独立解 。以下两个问题 分别说明了具有一个或两个特征向量 的三重特征值 的求解过程 。
17. 考虑系统
x ′ = A x = ( 1 1 1 2 1 − 1 − 3 2 4 ) x (38)
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x}=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \tag{38}\\
2 & 1 & -1 \\
-3 & 2 & 4
\end{array}\right) \mathbf{x}
x ′ = Ax = 1 2 − 3 1 1 2 1 − 1 4 x ( 38 )
a. 证明r = 2 r=2 r = 2 系数矩阵 A \mathbf{A} A 代数重数 为3的特征值 ，并且只有一个对应的特征向量 ，即
ξ ( 1 ) = ( 0 1 − 1 )
\boldsymbol{\xi}^{(1)}=\left(\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right)
ξ ( 1 ) = 0 1 − 1
b. 使用a部分的信息 ，写下系统 (38)的一个解 x ( 1 ) ( t ) \mathbf{x}^{(1)}(t) x ( 1 ) ( t ) x = ξ e r t \mathbf{x}=\boldsymbol{\xi} e^{r t} x = ξ e r t 形式 的纯指数形式 的其他解 。
c. 为了找到第二个解 ，假设x = ξ t e 2 t + η e 2 t \mathbf{x}=\xi t e^{2 t}+\eta e^{2 t} x = ξ t e 2 t + η e 2 t ξ \boldsymbol{\xi} ξ η \boldsymbol{\eta} η 方程
( A − 2 I ) ξ = 0 , ( A − 2 I ) η = ξ
(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}, \quad(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\xi}
( A − 2 I ) ξ = 0 , ( A − 2 I ) η = ξ
由于ξ \boldsymbol{\xi} ξ 方程 得到η \boldsymbol{\eta} η η \boldsymbol{\eta} η ξ ( 1 ) \boldsymbol{\xi}^{(1)} ξ ( 1 ) 倍数 ，因为它只会导致第一个解 x ( 1 ) \mathbf{x}^{(1)} x ( 1 ) 倍数 。然后写下系统 (38)的第二个解 x ( 2 ) ( t ) \mathbf{x}^{(2)}(t) x ( 2 ) ( t )
d. 为了找到第三个解 ，假设
x = ξ t 2 2 e 2 t + η t e 2 t + ζ e 2 t
\mathbf{x}=\boldsymbol{\xi} \frac{t^{2}}{2} e^{2 t}+\eta t e^{2 t}+\zeta e^{2 t}
x = ξ 2 t 2 e 2 t + η t e 2 t + ζ e 2 t
证明ξ \boldsymbol{\xi} ξ η \boldsymbol{\eta} η ζ \boldsymbol{\zeta} ζ 方程
(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}, \quad(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\xi}, \quad(\mathbf{A}-2 \mathbf{I}) \zeta=\eta
前两个**方程**与c部分中的相同，因此求解第三个**方程**得到$\boldsymbol{\zeta}$，再次忽略出现的$\boldsymbol{\xi}^{(1)}$的**倍数**。然后写下**系统**(38)的第三个**解**$\mathbf{x}^{(3)}(t)$。
e. 写下**系统**(38)的**基本矩阵**$\boldsymbol{\Psi}(t)$。
f. 形成一个**矩阵**$\mathbf{T}$，其中第一**列**是**特征向量**$\boldsymbol{\xi}^{(1)}$，第二**列**和第三**列**是**广义特征向量**$\boldsymbol{\eta}$和$\zeta$。然后找到$\mathbf{T}^{-1}$并形成**乘积**$\mathbf{J}=\mathbf{T}^{-1} \mathbf{A T}$。**矩阵**$\mathbf{J}$是$\mathbf{A}$的**约旦标准型**。
18. 考虑**系统**
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x}=\left(\begin{array}{rrr}
5 & -3 & -2 \tag{39}\
8 & -5 & -4 \
-4 & 3 & 3
\end{array}\right) \mathbf{x}
a. 证明$r=1$是**系数矩阵**$\mathbf{A}$的三重**特征值**，并且只有两个线性无关的**特征向量**，我们可以将其视为
\xi^{(1)}=\left(\begin{array}{l}
1 \tag{40}\
0 \
2
\end{array}\right), \quad \xi^{(2)}=\left(\begin{array}{r}
0 \
2 \
-3
\end{array}\right)
写出**方程** (39) 的两个线性无关的**解** $\mathbf{x}^{(1)}(t)$ 和 $\mathbf{x}^{(2)}(t)$。
b. 为了找到第三个**解**，假设 $\mathbf{x}=\boldsymbol{\xi} t e^{t}+\eta e^{t}$；然后证明 $\boldsymbol{\xi}$ 和 $\boldsymbol{\eta}$ 必须满足
\begin{align*}
& (\mathbf{A}-\mathbf{I}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}, \tag{41}\
& (\mathbf{A}-\mathbf{I}) \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\xi} . \tag{42}
\end{align*}
c. 如果 $\boldsymbol{\xi}$ 是一个**特征向量**，则**方程** (41) 成立，所以一种**方法**是选择 $\boldsymbol{\xi}$ 为 $\boldsymbol{\xi}^{(1)}$ 和 $\boldsymbol{\xi}^{(2)}$ 的合适的**线性组合**，使得**方程** (42) 可解，然后求解该**方程**得到 $\boldsymbol{\eta}$。 然而，让我们用不同的**方法**，并遵循**问题** 15 的**模式**。首先，证明 $\boldsymbol{\eta}$ 满足
(\mathbf{A}-\mathbf{I})^{2} \eta=\mathbf{0}
进一步，证明 $(\mathbf{A}-\mathbf{I})^{2}=\mathbf{0}$。 因此，$\boldsymbol{\eta}$ 可以任意选择，只是它必须独立于 $\boldsymbol{\xi}^{(1)}$ 和 $\boldsymbol{\xi}^{(2)}$。
d. 对于 $\boldsymbol{\eta}$ 的一个方便的**选择**是 $\boldsymbol{\eta}=(0,0,1)^{T}$。 从**方程** (42) 找到对应的 $\boldsymbol{\xi}$。 验证 $\boldsymbol{\xi}$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个**特征向量**。
e. 写出**系统** (39) 的一个**基本矩阵** $\boldsymbol{\Psi}(t)$。
f. 形成一个**矩阵** $\mathbf{T}$，其第一**列**是**特征向量** $\boldsymbol{\xi}^{(1)}$，其他两**列**分别是来自 d 部分的**特征向量** $\boldsymbol{\xi}$ 和**广义特征向量** $\boldsymbol{\eta}$。 找到 $\mathbf{T}^{-1}$ 并形成**乘积** $\mathbf{J}=\mathbf{T}^{-1} \mathbf{A T}$。 **矩阵** $\mathbf{J}$ 是 $\mathbf{A}$ 的 Jordan **标准型**。
19. 设 $\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{array}\right)$，其中 $\lambda$ 是任意**实数**。
a. 找到 $\mathbf{J}^{2}, \mathbf{J}^{3}$, 和 $\mathbf{J}^{4}$。
b. 使用归纳法证明 $\mathbf{J}^{n}=\left(\begin{array}{cc}\lambda^{n} & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^{n}\end{array}\right)$。
c. 确定 $\exp (\mathbf{J} t)$。
d. 使用 $\exp (\mathbf{J} t)$ 求解**初值问题** $\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{J x}$，$\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}^{0}$。
20. 设
\mathbf{J}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda & 0 & 0 \
0 & \lambda & 1 \
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)
其中 $\lambda$ 是任意**实数**。
a. 找到 $\mathbf{J}^{2}, \mathbf{J}^{3}$, 和 $\mathbf{J}^{4}$。
b. 使用归纳法证明
\mathbf{J}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^{n} & 0 & 0 \
0 & \lambda^{n} & n \lambda^{n-1} \
0 & 0 & \lambda^{n}
\end{array}\right)
c. 确定 $\exp (\mathbf{J} t)$。
d. 观察到，如果您选择 $\lambda=1$，那么此**问题**中的**矩阵** $\mathbf{J}$ 与**问题** 18f 中的**矩阵** $\mathbf{J}$ 相同。使用**问题** 18f 中的**矩阵** $\mathbf{T}$，形成**乘积** $\mathbf{T} \exp (\mathbf{J} t)$，其中 $\lambda=1$。
e. **结果矩阵**与**问题** 18e 中的**基本矩阵** $\Psi(t)$ 相同吗？ 如果不是，请解释**差异**。
21. 设
\mathbf{J}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 0 \
0 & \lambda & 1 \
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)
其中 $\lambda$ 是任意**实数**。
a. 找到 $\mathbf{J}^{2}, \mathbf{J}^{3}$, 和 $\mathbf{J}^{4}$。
b. 使用归纳法证明
\mathbf{J}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^{n} & n \lambda^{n-1} & \frac{1}{2} n(n-1) \lambda^{n-2} \
0 & \lambda^{n} & n \lambda^{n-1} \
0 & 0 & \lambda^{n}
\end{array}\right)
c. 确定 $\exp (\mathbf{J} t)$.
d. 注意到如果你选择 $\lambda=2$，那么此**问题**中的**矩阵** $\mathbf{J}$ 与**问题** 17f 中的**矩阵** $\mathbf{J}$ 相同。使用**问题** 17f 中的**矩阵** $\mathbf{T}$，构建**乘积** $\mathbf{T} \exp (\mathbf{J} t)$，其中 $\lambda=2$。得到的**矩阵**与**问题** 17e 中的**基解矩阵** $\boldsymbol{\Psi}(t)$ 相同。如果不是，解释**差异**。
请提供需要处理的**内容**，我将保持原有**格式**地用 "**" 为**名词**加粗，**符号公式**不加粗。
